مطالعه مؤلفه‌های برنامه درسی و گرایش مؤلفان کتاب « معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی »

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسنده

گروه ریاضی، واحد اهر، دانشگاه آزاد اسلامی، اهر، ایران

چکیده

هدف اصلی مطالعه‌ی حاضر، تبیین مؤلفه‌های برنامه درسی بر اساس چارچوب نظری و گرایش مؤلفان کتاب «معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی» به‌منظور شناسایی مبانی نظری آموزش معادلات دیفرانسیل است. تحلیل محتوای این کتاب با رویکرد نظریه‌پردازی داده بنیاد نشان می‌دهد شرایط زمینه‌ای مؤلفان شامل مقوله «کاربرد معادلات دیفرانسیل» با زیر مقوله‌های « علاقه‌مند کردن دانشجویان» و « توجه به نیازهای اساسی دانشجویان» است که در این میان « نوآوری آموزشی » و استفاده از « فنّاوری » به‌عنوان شرایط مداخله‌گر تأثیرگذار هستند. مؤلفان با قرار گرفتن در شرایط فوق راهبردهای « تلفیق رویکردهای جبری، عددی و هندسی »، « تلفیق ریاضی ورزی افقی و عمودی »، « تلفیق آموزش معادلات دیفرانسیل و مدل‌سازی » و « تلفیق روش تدریس سنتی و مدرن » را اتخاذ می‌کنند. در نتیجه به‌کارگیری این راهبردها، پیامد « برنامه درسی تلفیقی » مطرح می‌شود. درواقع برنامه درسی تلفیقی در آموزش معادلات دیفرانسیل متضمن این مطلب است که مؤلفان این کتاب به نوعی درک از برنامه‌ریزی و تدوین کتاب درسی می‌پردازند که در دو سوی یک طیف از « ساختاری محض » تا « کاربست تخصصی و صنعتی » در نوسان است
 

کلیدواژه‌ها


مقدمه

« معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی » عنوان کتابی در حوزه آموزش معادلات دیفرانسیل به قلم ویلیام ای. بویس[1] و ریچارد سی. دیپریما[2] دو نفر از استادان برجسته و به نام ایالات‌متحده آمریکا با برگردان دکتر حمیدرضا زنگنه است که از سوی انتشارات فاطمی در شهریور ماه 1389 چاپ و منتشر شده است. این نخستین ترجمه از ویراست نهم این کتاب است که در ایران منتشر می‌شود. ویراست هفتم این کتاب در سال 1366 با برگردان دکتر محمدرضا سلطان‌پور و بیژن شمس از سوی مرکز نشر دانشگاهی منتشر شده بود. این کتاب که اولین ویرایش آن در سال 1965 میلادی منتشر شده تاکنون که ویراست نهم آن به چاپ رسیده است همواره یکی از کتب مطرح آموزش معادلات دیفرانسیل در گستره جهانی بوده است و در پنج دهه اخیر این کتاب به‌طور گسترده در دانشگاه‌های معتبر دنیا و ایران پـذیرش و به‌عنوان یک منبـع درسـی دانـشگاهی تـدریس شـده اسـت .این کتاب در ویراست‌های متوالی از تحول و تغییرات قابل‌توجهی برخوردار بوده که ناشی از چالش‌های پیش روی آموزش مفهومی معادلات دیفرانسیل است (کریمی فردین‌پور، 1395). درواقع آموزش مفهومی معادلات دیفرانسیل یکی از چالش‌های پیش روی نظام‌ آموزش عالی است. چراکه این درس یکی از دروس با اهمیت برای تمامی رشته‌های فنی و مهندسی و همین‌طور علوم پایه است (کریمی فردین‌پور، 1394).

آیسسکو[3] سازمان آموزشی، علمی و فرهنگی اسلامی در سال 2005 با این شعار که " هر کشوری که در نظام آموزش خود تحول ایجاد نکند و مدیریت کارآمدی بر آن حاکم نسازد، متوقف خواهد شد " به ضرورت سازمان‌دهی و تجدید ساختار در برنامه‌ریزی درسی اشاره‌کرده است (هداوند، 1388). در همین راستا فتحی (1385) یادآور شده است که آموزش عالی به‌عنوان مرکز ثقل تحولات علمی و پژوهشی کشور، نیازمند سازمان‌دهی مجدد و تجدید ساختار برنامه‌ریزی درسی است. دراین‌بین، رشد و توسعه شتابان حوزه آموزش ریاضی دانشگاهی، با مطرح‌شدن دیدگاه‌ها، نظرها و رویکردهای گوناگون در این حوزه، زمینه‌ساز قلمروهای جدید پژوهشی برای این حوزه تحقیقی نوبنیاد بوده است که سؤال‌های پژوهشی اساسی را در مواجهه با زمینه‌های سنتی آموزش ریاضی در سطح دانشگاه مطرح کرده است. یکی از عمده‌ترین زمینه‌های پژوهشی در این حوزه، مربوط به مبحث برنامه‌ریزی و تدوین کتاب‌های درسی است.

برنامه‌ریزی و تدوین کتاب‌های درسی در حوزه آموزش ریاضی دانشگاهی می‌تواند فرصت‌های نوین را در جهت بهبود و بازسازی در تمام حوزه آموزش عالی فراهم آورد (کریمی فردین‌پور، 1395). چراکه در محیط کار و تحصیل، دانشجویان به‌طورمعمول برای انجام امور با موقعیت‌هایی مواجه می‌شوند که باید ریاضی را به‌کارگیرند (کریمی فردین‌پور و گویا، 1392). چنین کاربردهایی از ریاضی در محیط کار و تحصیل، مبتنی بر شایستگی‌ها و صلاحیت‌های آموخته‌شده از طریق آموزش‌هایی است که انتظار می‌رود در کتاب‌های ریاضی دانشگاهی ظاهر شوند (کریمی فردین‌پور، 1393 ب). بنابراین یکی از اهداف و نیازهای مبرم نظام آموزش عالی، برنامه‌ریزی، تدوین، تغییر و روزآمد کردن کتاب‌های درسی ریاضی است (کریمی فردین‌پور، 1395) چراکه ارزیابی‌ها و بررسی‌های انجام‌شده دربـاره کتاب‌های درسی موجود، در ارزیابی نظام آموزشی نقشی بسزا ایفا می‌کنند (حکیم زاده و همکاران، 1386). لذا ارزیابی و تحلیل محتوای کتاب‌های درسـی در مواد درسی مختلـف و در مقـاطع متفـاوت، نه ‌تنها امری معمول و طبیعـی بلکـه مسئله‌ای ضـروری است. در همین راستا محققانی متعدد در سال‌های اخیـر به‌طور فزاینده‌ای کتاب‌های درسـی ریاضی را از زوایـای گوناگون مطالعه و تحلیل محتوا کرده‌اند (رضایی، 1385؛ زمانی، 1386؛ خسروشاهی، 1388؛ رفیع پور و استیسی[4]، 2009؛ رفیع پور، استیسی و گویا، 2012؛ غلام آزاد، 1393؛ کریمی فردین‌پور، 1395).

در پژوهش غلام آزاد (1393)، وی ضمن معرفی چارچوب نظری « برنامه درسی واقعیت‌مدار » و « ریاضی ورزی افقی و عمودی[5] » در حوزه آموزش ریاضی، به روش تحلیل محتوا، رد پای واقعی بودن در کتاب تازه تألیف ریاضیات یکم را مورد تحقیق قرارداده است. نتایج پژوهش او حاکی از گرایش مؤلفان کتاب‌های ریاضی مدرسه‌ای نسبت به طرح مسائل واقعیت‌مدار بوده است. البته علاوه بر ریاضی مدرسه‌ای، ردپای برنامه درسی واقعیت‌مدار در آموزش ریاضی دانشگاهی نیز مورد پژوهش قرارگرفته است. در پژوهش کریمی فردین‌پور (1395) وی به روش تحلیل محتوا و با استفاده از چارچوب نظری برنامه درسی واقعیت‌مدار در حوزه آموزش معادلات دیفرانسیل که شامل چهار مقوله " متصل به واقعیت بودن "، " نزدیک به دانشجویان ماندن "، " مرتبط با مسائل جامعه بودن " و " جبری-عددی-هندسی بودن " است، همه مثال‌های فصل اول و دوم کتاب « معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی » را موردبررسی قرار داده است. نتیجه حاصل از این یافته‌ها حاکی از نقش پررنگ " برنامه درسی واقعیت‌مدار " در این کتاب است. وی در انتها پس از انتقاد از برنامه درسی موجود، پیشنهاد بازنگری سرفصل معادلات دیفرانسیل با تأکید بر وجه واقعیت‌مداری، کرده است. وی بر اساس تحقیق دیگری که در سال 1394 انجام داده است تأکید می‌کند که آموزش عالی، بخصوص دانشکده‌های علوم پایه و مهندسی، نیاز به آموزشی پویا در معادلات دیفرانسیل دارند. آموزشی که نیازها و انتظارات فارغ‌التحصیلان را به‌صورتی جامع و همه‌جانبه برآورده سازد و برنامه‌های آن از چنان کیفیتی برخوردار باشد که بتواند رضایتمندی دانشجویان را در خصوص آموزش معادلات دیفرانسیل برآورده سازد (کریمی فردین‌پور، 1394). یعنی برنامه درسی جدید معادلات دیفرانسیل باید دارای سازمان‌دهی و محتوایی باشد که نیازهای دنیای جدید مهندسی و علوم پایه را برآورده سازد. چراکه این تحقیق نشان می‌دهد برنامه‌های درسی متداول و سنتی آموزش معادلات دیفرانسیل، مفاهیم و موضوعاتی را به دانشجویان آموزش می‌دهند که مجزا از هم و تصنعی هستند. درحالی‌که احمدی و مهرمحمدی (1380)، آبوت[6] و همکاران (2006) و آکرسان[7] (2007) معتقدند که چنین آموزشی موجب احساس بی‌ربطی، بیهودگی و گاهی حتی سردرگمی دانشجویان می‌شود. در همین راستا، یکی از اهداف تحقیق حاضر این است که نشان دهد مؤلفان کتاب « معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی » تلاش کرده‌اند تا در برنامه‌ریزی و تدوین کتابشان، مفاهیم مربوط به حل معادلات دیفرانسیل را طوری به دانشجویان آموزش ‌دهند که مجزا از هم و تصنعی نباشند. مؤلفان این کتاب به‌طور حتم در ذهن خود چارچوب نظری و تفسیری از مفهوم « برنامه‌ریزی و تدوین کتاب درسی معادلات دیفرانسیل » دارند که در تدوین این کتاب تجلی پیدا کرده است. بنابراین با توجه به رویکرد حاکم بر این پژوهش، می‌توان « آموزش مفهومی معادلات دیفرانسیل » را از درون و دیدگاه مؤلفان تفسیری واقعی کرد. چراکه همواره رویکرد کیفی « نظریه‌پردازی داده بنیاد[8] » به دنبال جستجوی یک فهم واقع‌گرایانه از یک واقعیت موجود است (استراوس و کوربین، 1997). بر اساس این روش تحقیق، تلاش بر آن است تا گرایش‌ها و انگاره‌هایی[9] را که مؤلفان این کتاب، پیرامون آموزش مفهومی معادلات دیفرانسیل ارائه می‌کنند به‌صورت نظام‌وار نشان داده شود. مسئله موردبررسی این مطالعه این است که مؤلفان چه فهم و درکی از آموزش معادلات دیفرانسیل دارند و چگونه نسبت به برنامه درسی آن جهت‌گیری می‌کنند و چه راهبردی را برای برنامه‌ریزی و تدوین کتاب درسی اتخاذ می‌کنند. در این مقاله برنامه درسی آموزش معادلات دیفرانسیل در کتاب « معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی » تفسیر و در مقابل برنامه درسی فعلی موضع‌گیری می‌شود. در حقیقت، به‌منظور تبیین و شناسایی مؤلفه‌های برنامه درسی این کتاب، به کندوکاو انگاره‌ها و گرایش مؤلفان آن پرداخته‌شده است.

چارچوب نظری

برنامه درسی معادلات دیفرانسیلی که در حال حاضر در دانشگاه‌های کشور اجرا می‌شود مطابق آخرین سرفصل مصوب دفتر برنامه‌ریزی آموزش عالی وابسته به وزارت علوم، تحقیقات و فنّاوری است که در تاریخ 26/2/1388 منتشر شده است. در این برنامه درسی، سرفصل معادلات دیفرانسیل به پنج بخش: « مرتبه‌ی اول »، « مرتبه‌ی دوم و بالاتر »، « تبدیل لاپلاس »، « روش سری‌های توانی » و « دستگاه معادلات دیفرانسیل » تقسیم شده است. هر یک از بخش‌های موردنظر به واحدهای موضوعی تقسیم‌بندی و هر بخش به‌طور جداگانه برنامه‌ریزی شده است. در سازمان‌دهی و ارتباط عمودی این بخش‌ها به ترتیبی برنامه‌ریزی شده که ارتباط هر بخش با دیگری تحت عنوان « پیش‌نیاز » تعریف شده است. به‌عنوان نمونه بخش « مرتبه اول » به‌عنوان پیش‌نیاز بخش « مرتبه دوم و بالاتر » مطرح شده اما ارتباط افقی بین بخش‌های آن در حداقل ممکن دنبال شده است. چراکه رویکرد هندسی حل معادلات دیفرانسیل و تلفیق آن با رویکردها جبری و عددی نادیده گرفته‌شده است (کریمی فردین‌پور، 1395). به نظر می‌رسد در برنامه درسی موجود معادلات دیفرانسیل، تلفیـق از نـوع « درونـی » اسـت؛ یعنـی از دانشـجو انتظار می‌رود خود به تلفیق پرداخته و ارتباط افقی موجود را خودش درک کند. در همین راستا هیبر[10] (2000)، هیبر (2003) و کریمی فردین‌پور[11] (b 2016) ابراز نگرانی کرده‌اند که بسیاری از دانشجویان به شیوه‌ای منقطع و بی‌ارتباط با مسائل دنیای واقعی یعنی با انتظار تلفیـق از نـوع درونـی، آموزش می‌بینند که ممکن است حتی پس از پاس کردن معادلات دیفرانسیل، درکی از ارتباط آموزش‌های دریافت شده و مدل‌سازی نداشته و یا آگاهی لازم برای ایجاد پیوند بین نظریه و عمل را نداشته باشند. در همین راستا، تحقیقات نشان داده‌اند که رضایتمندی دانشجویان از برنامه درسی فعلی معادلات دیفرانسیل در سطح پایینی قرار دارد (کریمی فردین‌پور، 1394).

در چارچوب مشکلات مطرح‌شده برای برنامه درسی فعلی معادلات دیفرانسیل، هدف اصلی این مقاله تبیین « مؤلفه‌های برنامه درسی » آموزش معادلات دیفرانسیل بر اساس تجربه‌ی حرفه‌ای مؤلفان کتاب «معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی» است. در این پژوهش، منظور از « مؤلفه‌های برنامه درسی » در آموزش معادلات دیفرانسیل، ماهیت و عصاره تفکر مؤلفان کتاب « معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی » است که به‌صورت واضح و مختصر به‌صورت یک الگوی کدگذاری بصری[12] در شکل شماره 1 ارائه شده است. این الگوی کدگذاری بصری درواقع تجلی کلامی و نظری مؤلفان این کتاب در چارچوب برنامه درسی آموزش معادلات دیفرانسیل است که آن‌ها برای برنامه‌ریزی و تدوین این کتاب درسی مهم و ضروری ‌دانسته‌اند. به عبارت روشن‌تر، این مؤلفه‌ها در حقیقت دیدگاه‌ها، گرایش‌ها و رهنمودهای عملیاتی شده توسط مؤلفان است. درواقع منظور از تبیین مؤلفه‌ها، شناسایی همان اصول و پایه‌هایی است که برنامه درسی این کتاب بر آن نهاده شده است. این تحقیق در نهایت نشان می‌دهد که « مؤلفه‌های برنامه درسی» به کار گرفته شده در تدوین این کتاب از نوع « تلفیقی » است.

 

 

شکل شماره 1  (الگوی کدگذاری بصری)

 

احمدی و مهرمحمدی (1380) برنامه‌ی درسی « تلفیقی » را به معنای ارتباط دادن و درهم آمیختن محتوای برنامه درسی برای انسجام تجربیات یادگیری دانشجویان تعریف کرده‌اند. احمدی (1382) معتقد است که در سال‌های گذشته در زمینه ارتباط رشته‌ها و مواد درسی و تلفیق آن‌ها با یکدیگر از سوی صاحب‌نظران این حوزه تحقیقات زیادی انجام شده است. در سال‌های اخیر نیز برنامه درسی تلفیقی در حوزه آموزش پزشکی (صفرنواده و همکاران، 1394) و در حوزه آموزش مهندسی (مطهری نژاد، (1394) مورد توجه صاحب‌نظران بوده است. در همین امتداد، این پژوهش، برنامه درسی تلفیقی را در حوزه آموزش ریاضی مورد مطالعه قرار می‌دهد. درواقع این امر با تحلیل محتوای یک کتاب درسی ریاضی دانشگاهی صورت می‌گیرد.

از یک‌سوی، کتاب‌های درسی دانشگاهی به دلیل ساختار آموزشی متمرکز و برنامه درسی سنت‌گرای حاکم بر نظام آموزشی عالی کشور، به‌عنوان یکی از منابع مهم و پرکاربرد در ساختار آموزشی کشور مطرح می‌باشند ( نیک نفس و علی آبادی، 1392). از سوی دیگر دروس ریاضی دانشگاهی به‌خاطر اهمیت زیاد مدل‌سازی در خط‌مشی آموزشی و ارزشیابی نظام آموزش عالی، به عنوان یکی از منابع اصلی آموزش مدل‌سازی مطرح می‌باشند (کریمی فردین‌پور، a 2016). به‌خاطر همین اهمیت است که صرف وقت نیروهای متخصص در تحلیل کتاب‌های درسی ریاضی دانشگاهی می‌تواند راهگشای حل بسیاری از مشکلات جاری برنامه درسی اجراشده در کلاس‌های درس ریاضی باشد. در همین چارچوب نتایج مطالعات مختلف نیز نشان داده است که کتاب درسی تأثیر مستقیمی بر برنامه درسی اجراشده در کلاس درس دارد. برای مثال تحقیقات هریسون[13] (2001) به این نتیجه رسیده است که همان‌گونه که یک کتاب مناسب می‌تواند موجب تسهیل جریان یادگیری شود، یک کتاب نامناسب نیز به همان اندازه می‌تواند فرآیند یادگیری را مختل کند. علاوه بر این، آون[14] و دیودلی[15] (2007) کتاب درسی را مرجع رسمی مورد استناد برای تعیین مؤلفه‌های برنامه درسی معرفی کرده‌اند (ص. 8). بنابراین کتاب درسی « معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی » به‌عنوان یک نمونه نوعی[16] می‌تواند برای تعیین مؤلفه‌های برنامه درسی آموزش معادلات دیفرانسیل مورد استناد قرار گیرد. بر اساس طبقه‌بندی کرسول[17] (2012) نمونه‌گیری نوعی، شکلی از نمونه‌گیری هدفمند است که پژوهشگر در آن، یک شخص یا یک موضوع را مطالعه می‌کند (ص. 208). درواقع با توجه به هدف پژوهش، از میان کتاب‌های مختلف آموزش معادلات دیفرانسیل، کتاب « معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی » به‌صورت هدفمند به‌عنوان نمونه‌گیری نوعی انتخاب‌شده است. ملاک انتخاب کتاب مذکور در دسترس بودن آن و همچنین معتبر و شناخته‌شده بودن آن است.

با توجه به اینکه هدف اصلی پژوهش حاضر شناسایی مؤلفه‌های برنامه درسی در باب پدیده آموزش معادلات دیفرانسیل بود، راهبرد کلی این پژوهش از نوع نظریه‌پردازی داده بنیاد بوده است. این نظریه‌پردازی یک سنت پژوهش تجربی است که به مطالعه فهم و درک افراد از یک پدیده می‌پردازد. به اعتقاد مارتن[18] (1981) از دیدگاه پدیدار نگاری[19] این نوع نظریه‌پردازی روشی برای تحلیل توصیفی و فهم افراد از پدیده‌هایی است که آن‌ها در طول زندگی حرفه‌ای و یا شخصی خود تجربه کرده‌اند (ص. 108). در این راهبرد پژوهشی، سؤال پژوهشی از درون و دیدگاه افرادی که آن را تجربه کرده‌اند مورد مطالعه قرار می‌گیرد (مارتن، 1994). تلاش پژوهشگر در اجرای این پژوهش بر آن متمرکز بوده تا داده‌های کیفی به‌صورت مستقل و اکتشافی به دست آید و نتایج آن بدون دست‌کاری و در نهایت با ارائه یک الگوی کدگذاری بصری (شکل شماره 1) مورد تحلیل قرار گیرد. پرسش‌ اساسی برای تحیلیل محتوای کتاب « معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی » این‌چنین بود:

  • مؤلفه‌های برنامه درسی در کتاب « معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی » چیست؟

روش‌شناسی و یافته‌های تحقیق

یکی از مهم‌ترین استراتژی‌های پژوهش کیفی، نظریه‌پردازی داده بنیاد است (کریمی فردین‌پور، 1393 الف). فرآیند اجرای نظریه‌پردازی در این پژوهش، بر اساس معروف‌ترین رهیافت موجود، رهیافت نظام‌مند استراوس[20] و کوربین[21] ارائه می‌شود (کرسول، 2012). در رهیافت نظام‌مند داده‌ها به‌طور نظام‌وار تقلیل[22]، کدگذاری و مقوله‌بندی[23] می‌شوند. در اولین قدم در رهیافت نظام‌مند کدگذاری باز[24] انجام می‌شود که به نظر کرسول (2012) یک فرآیند تحلیلی است که از طریق آن، مفاهیم شناسایی شده و ویژگی‌ها و ابعاد آن‌ها در داده‌ها کشف می‌شوند. بنابراین در اولین قدم گفتار مؤلفان در تدوین کتاب به‌عنوان نشانه‌های بالقوه‌ی مؤلفه‌های برنامه‌ریزی و تدوین کتاب در نظر گرفته شده و تحلیل محتوا می‌شدند و بدین‌سان برچسب مفهومی[25] دریافت می‌کردند. به عنوان مثال « استفاده از ابزارهای متنوع »، « هم تحلیل و هم محاسبه » و « ارائه نتایج به شکل‌های متنوع » نمونه‌ای از برچسب‌های مفهومی هستند که در ذیل مقوله « تلفیق رویکردهای جبری، عددی و هندسی » قرار گرفته‌اند.

پس از برچسب‌های مفهومی، مقوله‌ها[26] که در مقایسه با مفاهیم، انتزاعی‌تر بوده و سطحی بالاتر را نشان می‌دهند تشکیل شدند. مقوله‌ها از طریق همان فرآیند تحلیلی انجام مقایسات برای برجسته سازی شباهت‌ها و تفاوت‌ها که در سطح پایین‌تر برای تولید مفاهیم استفاده شد، تولید شدند (استراوس و کوربین[27]، 1990). در این بین ویژگی‌ها[28] تشخیص داده شدند که در نظریه‌پردازی داده بنیاد زیر مقوله‌هایی[29] از نوع کدهای باز می‌باشند و وظیفه دارند جزئیات بیشتر در مورد هر مقوله را ارائه کنند. کرسول (2012) منظور از یک ویژگی بعدبندی شده[30] را ویژگی می‌داند که بر روی یک پیوستار نشان داده شود. به‌طور مثال ویژگی استفاده از « فنّاوری » در آموزش معادلات دیفرانسیل ازنظر مؤلفان کتاب از " بسیار کم، هیچ تا وسیع "(ص. نه) است که در حقیقت پیوستاری برای بعدبندی زیر مقوله « فنّاوری » است.

در ادامه فرآیند اجرای رهیافت نظام‌مند در نظریه‌پردازی داده بنیاد، کدگذاری محوری[31] که فرآیند ربط‌دهی مقوله‌ها به زیر مقوله‌ها و پیوند دادن مقوله‌ها در سطح ویژگی‌ها و ابعاد است انجام شد. به نقل از چارمز[32] (2006) در این مرحله، مقوله‌ها، ویژگی‌ها و ابعاد حاصل از کدگذاری باز، تدوین‌شده و سر جای خود قرار می‌گیرد تا دانش فزاینده‌ای در مورد روابط ایجاد شود. در این مرحله بود که « برنامه‌ریزی و تدوین کتاب درسی » در مرکز فرآیند « آموزش مفهومی معادلات دیفرانسیل » به‌عنوان « پدیده مرکزی » یا مقوله محوری[33] قرار گرفت و درون‌مایه‌های « کاربرد معادلات دیفرانسیل »، « نوآوری آموزشی »، « تلفیق » و « برنامه درسی تلفیقی » حاصل کدگذاری‌های محوری بوده است. این درون‌مایه‌ها ابزاری فراهم کردند که به‌وسیله آن نظریه‌پردازی یکپارچه شد. در جدول شماره 1 مفاهیم، مقوله‌ها، درون‌مایه‌ها و مقوله محوری حاصل از تجزیه و تحلیل داده‌ها نشان داده شده است.

جدول شماره 1 :مفاهیم، مقوله‌ها، درون‌مایه‌ها و مقوله محوری حاصل از تجزیه و تحلیل داده‌ها

مفهوم (زیر مقوله)

درون‌مایه (مقوله کلان)

مقوله هسته

علاقه‌مند کردن دانشجویان

شرایط زمینه: کاربرد معادلات دیفرانسیل

برنامه‌ریزی و تدوین کتاب درسی معادلات دیفرانسیل

توجه به نیازهای اساسی دانشجویان

استفاده از فنّاوری

شرایط مداخله‌گر: نوآوری آموزشی

تلفیق رویکردهای جبری، عددی و هندسی

راهبردها: تلفیق

تلفیق ریاضی ورزی افقی و عمودی

تلفیق آموزش معادلات دیفرانسیل و مدل‌سازی

تلفیق روش‌های تدریس سنتی و مدرن

ساختاری محض یا کاربست صنعتی و تخصصی

پیامد: برنامه درسی تلفیقی

پس از کدگذاری محوری، مقوله‌ها با عناوین شرایط علّی[34]، شرایط زمینه‌ای[35]، شرایط مداخله‌گر[36]، راهبردها[37] و پیامدها[38] به مقوله محوری ربط داده شدند. کرسول (2012)، درنهایت فرآیند اجرای رهیافت نظام‌مند در نظریه‌پردازی داده بنیاد را مشتمل بر ترسیم یک نمودار (شکل شماره 1) می‌داند که الگوی کدگذاری بصری  نامیده می‌شود.

به‌طور خلاصه می‌توان گفت در کدگذاری باز، به پدید آوردن مقوله‌ها و ویژگی‌های آن‌ها پرداخته شد. سپس تلاش شد مشخص شود که چگونه مقوله‌ها در طول بُعدهای تعیین‌شده تغییر می‌کنند. بعد در مرحله کدگذاری محوری، مقوله‌ها به‌طور نظام‌مند بهبود یافته و با زیر مقوله‌ها پیوند داده شدند. درنهایت با کدگذاری انتخابی[39] فرآیند یکپارچه‌سازی و بهبود نظریه‌پردازی انجام شد. ازنظر کرسول (2012) در روش نظریه‌پردازی داده بنیاد جمع‌آوری، تحلیل داده‌ها و نظریه تولیدشده با یکدیگر در ارتباط هستند و محقق به‌جای ورود به پژوهش با یک نظریه پیش‌فرض گرفته به داده‌ها اجازه می‌دهد تا نظریه را پدیدآورند (استراوس و کوربین، 1997). در همین امتداد چارمز (2000) معتقد است که در نظریه‌پردازی داده بنیاد، عینیت یافتن تحلیل‌های شناختی باید بر این اساس باشد که اعضای جامعه مورد مطالعه (در این پژوهش مؤلفان کتاب) چگونه گرایش‌ها و چارچوب‌های ذهنی خود را به گفتار و عملکرد تبدیل می‌کنند. در این رویکرد پژوهشی برخلاف تحقیقات کمی، سودی در کار کردن با اطلاعات فراوان آماری دیده نمی‌شود و به‌جای آن می‌توان به تحلیل عمیق داده‌ها بر اساس فهم و گرایش ذهنی اعضای جامعه پرداخت. ازاین‌رو، این روش تحقیق به فهم و شرح تجربه مؤلفان کتاب از درون ذهن آنان کمک شایانی می‌کند. این امر با هدف مقاله حاضر که دستیابی به درک شناختی مؤلفان از آموزش معادلات دیفرانسیل است، سازگاری معتنابه دارد. علاوه بر این‌ها، این روش پژوهشی از اعتباربخشی عمده‌ای نیز برخوردار است.

در نظریه‌پردازی داده بنیاد اعتباربخشی[40] یک بخش کاملاً فعالی از کل فرآیند تحقیق است (کرسول، 2012). پس از هر مرحله، محقق سؤال‌هایی در مورد مقوله‌های ظاهرشده مطرح و برای پیدا کردن مدارک و مستندات بیشتر در مورد مقوله‌ها به جستجوی نمونه‌های غنی از اطلاعات بوده است. پس از انجام مرحله سوم تحقیق با مقایسه پیشینه پژوهشی موجود در نظام آموزش معادلات دیفرانسیل به مقایسه نظریه حاصل از این تحقیق با تحقیقات مرتبط پرداخته‌شده است. درواقع برای دستیابی به اعتماد موردنیاز برای تأیید علمی این پژوهش، از ابزار بازرسی خارجی[41] توسط محقق مشاور به‌وسیله نظارت بر تمام مراحل پژوهش و اعتبار سنجی به‌وسیله ارائه مفاهیم، مقوله‌ها و روابط آن‌ها استفاده شده است.

راه‌کارهای قابل‌اعتماد سازی نظریه‌پردازی داده بنیاد در تحقیقات (استراوس و کوربین، 1998؛ کوربین و استراوس، 2008؛ چارمز، 2006) بیان شده است. چارمز (2006) مواردی همچون اعتبار[42]، اصالت[43]، تشدید[44] و سودمندی[45] را خاطرنشان شده است. کوربین و استراوس عواملی مانند مناسب[46]، حساسیت[47]، کاربردی[48]، منطقی، تغییر[49]، خلاقیت[50] و شیوه ابتکاری[51] موردبحث قرارداده است. در یک جمع‌بندی کلی کرسول (2012) مؤلفه‌های اعتباربخشی یک نظریه‌پردازی داده بنیاد را به‌صورت زیر خلاصه کرده است. برای انجام پژوهشی باکیفیت، او از محقق می‌خواهد؛

1-     فرآیند اصلی انجام تحقیق را به‌طور واضح بیان کند. (بدین منظور مراحل طی شده برای انجام تحقیق در بخش؛ روش‌شناسی و یافته‌های تحقیق بیان شده است.)

2-     نظریه‌ای در انتهای تحقیق بر پایه داده‌های حاصل از دیدگاه مؤلفان کتاب ارائه کند. (بر اساس جمع‌بندی‌های انجام‌شده از کدگذاری‌های باز، محوری و انتخابی، نظریه‌ای به‌صورت زیر بیان شده است: برای مؤلفان کتاب « معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی »  انگاره سازی  « آموزش مفهومی معادلات دیفرانسیل » و تدوین کتاب درسی روی طیف « ساختاری محض » تا « کاربست تخصصی و صنعتی » مطرح شده است.)

3-     مطمئن شود که بین داده‌ها، مقوله‌ها و نظریه ارائه شده، ارتباط منطقی وجود دارد. (بازخورد ارائه یافته‌های تحقیق از محقق مشاور حاکی از وجود ارتباط منطقی بین داده‌ها، مقوله‌ها و نظریه ارائه شده است.)

4-     مستندات از به‌کارگیری یادداشت‌ها و نمونه مصاحبه فراهم کند که نظریه ارائه شده را قابل‌لمس کند. (رجوع شود به بخش؛ بحث و نتیجه‌گیری)

5-     الگوی کدگذاری بصری ارائه کند. (شکل شماره 1)

6-      مشخص کند کدامیک از رویکردهای نظام‌وار[52]، برآمدی[53] یا ساخت‌وساز گرایی[54] به‌ کار گرفته شده است. (این تحقیق بر اساس رویکرد نظام‌وار معرفی‌شده در کرسول (2012) انجام‌شده است.)

بحث و نتیجه‌گیری

مؤلفان کتاب « معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی » از همان ابتدا بر « تلفیق » تأکید کرده‌اند و به اعتقاد آن‌ها آموزش مفهومی معادلات دیفرانسیل با « برنامه درسی تلفیقی » امکان‌پذیر است. آن‌ها در پیشگفتار آغازین کتاب آورده‌اند:

" مسئله‌های غیرعادی اغلب نیازمند استفاده از ابزارهای متنوع ـ چه تحلیلی و چه عددی ـ هستند. روش‌های مداد و کاغذی اغلب باید با استفاده مؤثر از رایانه ترکیب شوند. نتایج کمی و نمودارهایی که اغلب با رایانه تولید می‌شوند در خدمت نمایش و واضح کردن نتایجی قرار می‌گیرند که ممکن است در عبارت‌های پیچیده تحلیلی پنهان شده باشند. از طرف دیگر، پیاده‌سازی یک روند عادی کارآمد نوعاً از آغاز در حد قابل‌توجهی مبتنی بر تحلیل است ـ برای تعیین ویژگی‌های کیفی جواب به عنوان راهنمای محاسبات، برای بررسی حالات حدی و یا خاص و یا کشف اینکه چه محدوده‌ای از متغیرها و یا پارامترها نیازمند توجه خاص است. پس دانشجو باید به این تشخیص برسد که تحقیق درباره مسئله‌ای دشوار ممکن است هم به تحلیل و هم به محاسبه نیاز داشته باشد؛ که برای تعیین بهترین ابزار برای هدفی خاص نیازمند قضاوتی مناسب است؛ و اینکه نتایج را معمولاً می‌توان به شکل‌های متنوعی ارائه کرد."(ص. ده)

از مطالب بالا معلوم است که مؤلفان کتاب به استفاده از رویکردها و " ابزارهای متنوع " عددی و هندسی تأکید کرده‌اند چراکه معتقدند این ابزارها برای " واضح کردن نتایجی... که ممکن است در عبارت‌های پیچیده تحلیلی (جبری) پنهان شده باشند " لازم می‌باشند. آن‌ها بر این تجربه واقف هستند که ازیک‌طرف حل یک معادله دیفرانسیل از همان آغاز به‌طور قابل‌توجهی به رویکرد جبری وابسته است که اشاره کرده‌اند به اینکه " پیاده‌سازی یک روند عادی (حل یک معادله دیفرانسیل) کارآمد نوعاً از آغاز در حد قابل‌توجهی مبتنی بر تحلیل (رویکرد جبری) است " و از طرف دیگر در ادامه اشاره کرده‌اند به اینکه " برای تعیین ویژگی‌های کیفی جواب به عنوان راهنمای محاسبات، برای بررسی حالات حدی و یا خاص و یا کشف اینکه چه محدوده‌ای از متغیرها و یا پارامترها " مناسب یک روند عادی حل یک معادله دیفرانسیل کارآمد می‌باشند، نیازمند همراهی رویکردهای عددی و هندسی است. وقتی آن‌ها به‌وضوح بیان می‌کنند که " دانشجو باید به این تشخیص برسد که تحقیق درباره مسئله‌ای دشوار ممکن است هم به تحلیل و هم به محاسبه نیاز داشته باشد؛ که برای تعیین بهترین ابزار برای هدفی خاص نیازمند قضاوتی مناسب است " بر الزام تلفیق رویکردها تأکید دارند. زمانی که آن‌ها از دانشجویان در انتخاب " بهترین ابزار " یا همان بهترین رویکرد، انتظار " قضاوت مناسب " را دارند درحالی‌که به دانشجویان یادآوری می‌کنند که " نتایج (حل یک معادله دیفرانسیل) را معمولاً می‌توان به شکل‌های متنوعی ارائه کرد " دلیلی بر این ادعا است که آن‌ها علاوه بر اینکه انتظار دارند دانشجویان رویکردهای جبری، عددی و هندسی را تلفیق کنند بلکه حتی انتظار دارند دانشجویان به آن مرحله از تلفیق دست پیدا کنند که بتوانند به مقایسه رویکردها و حتی قضاوت در مورد کارآمدی آن‌ها بپردازند. بنابراین مقوله « تلفیق رویکردهای جبری، عددی و هندسی » به عنوان یکی از زیر مقوله‌های درون‌مایه « تلفیق » در نظر گرفته شده است. البته علاوه بر پیشگفتار، مؤلفان در جای‌جای کتاب بر تلفیق اشاره داشته‌اند. به‌طور مثال در فصل اول بعد از حل چندین مثال با رویکردهای متنوع جبری، عددی و هندسی، آورده‌اند:

" برای داشتن اعتماد به نفس در استفاده از معادلات دیفرانسیل، درک چگونگی کارکرد روش‌های حل اساسی است و بخشی از این درک با حل تعداد کافی مثال با جزئیات به دست می‌آید. با این حال در نهایت باید هر قدر که می‌توانیم تعداد بیشتری از عملیات (اغلب تکراری) را به رایانه بسپاریم و توجهمان را بیشتر به صورت‌بندی مناسب و تفسیر جواب‌ها معطوف کنیم. به نظر ما، شما در هر مسئله باید همواره از بهترین روش‌ها و ابزار موجود استفاده کنید. به‌ویژه باید سعی کنید که روش‌های عددی، گرافیکی (هندسی) و تحلیلی (جبری) را ترکیب کنید تا بیشترین درک را از رفتار جواب‌ها و روند بنیادی‌ای که مسئله را مدل می‌کند به دست بیاورید. همواره باید به‌خاطر داشته باشید که بعضی کارها را با مداد و کاغذ می‌توان به نحو احسن انجام داد، درحالی‌که برخی دیگر نیازمند ماشین‌حساب یا رایانه هستند. اغلب برای انتخاب ترکیب مناسب قضاوتی مناسب ضروری است." (ص. 26)

با مطالعه سطرهای بالا می‌توان نتیجه گرفت که ازنظر مؤلفان برای " داشتن اعتماد به نفس " در " استفاده از معادلات دیفرانسیل " یا همان « کاربرد معادلات دیفرانسیل »، " انتخاب ترکیب مناسب " یا همان « تلفیق » مناسب از رویکردهای جبری، عددی و هندسی با " قضاوتی مناسب " ضروری است. به نظر آن‌ها دانشجویان با « تلفیق » رویکردها " در هر مسئله باید همواره از بهترین روش‌ها و ابزار موجود " استفاده کنند. به‌ویژه اینکه مؤلفان توصیه می‌کنند که دانشجویان باید سعی کنند که " روش‌های عددی، گرافیکی (هندسی) و تحلیلی (جبری) را ترکیب " و تلفیق کنند تا " بیشترین درک را از رفتار جواب‌ها و روند بنیادی‌ای که مسئله را مدل می‌کند " به دست آورند. بنابراین در مرحله کدگذاری انتخابی درواقع با هدف ساخت یک مقوله اصلی پوشش‌دهنده تمام مقولات پدیدار شده، پس از تجزیه و تحلیل مجدد تمام کدها، مقوله اصلی: برنامه درسی تلفیقی انتخاب شد. درواقع « تلفیق » به عنوان یکی از مهم‌ترین درون‌مایه‌های مؤثر بر یادگیری مفهومی معادلات دیفرانسیل تشخیص داده شد.

تحلیل محتوای کتاب نشان داد که فرآیند برنامه‌ریزی و تدوین کتاب درسی برای یادگیری مفهومی معادلات دیفرانسیل، علاوه بر استفاده از « فنّاوری » به‌عنوان بخشی از شرایط مداخله‌گر، شدیداً متأثر از « کاربرد معادلات دیفرانسیل » به‌عنوان شرایط زمینه است. مؤلفان کتاب در توصیف این مقوله می‌گویند؛ " هر کس که می‌خواهد در سطحی جدی‌تر به معادلات دیفرانسیل بپردازد باید حداقل با یکی از این نرم‌افزارها آشنا شود و راه‌های استفاده از آن‌ها را بررسی کند " یعنی مؤلفان بر این باورند که دانشجویان حداقل باید از « فنّاوری » استفاده کنند تا در زمینه « کاربرد معادلات دیفرانسیل » در " سطحی جدی‌تر " و قابل قبول پیش بروند. بنابراین مؤلفان کتاب برخورداری از دانش « کاربرد معادلات دیفرانسیل » را برای آموزش مفهومی معادلات دیفرانسیل لازم دانسته و تأکید کرده‌اند که آثار آن به‌طور مستقیم « علاقه‌مند کردن دانشجویان » و « توجه به نیازهای اساسی دانشجویان » را هدف قرارداده است. چراکه در ابتدای فصل اول کتاب آمده است:

" قبل از اینکه به‌طور جدی به مطالعه معادلات دیفرانسیل بپردازید و به عنوان مثال تمام و یا بخش عمده این کتاب را بخوانید باید تصوری از منافع احتمالی کسب این دانش داشته باشید. ممکن است صرف جذابیت موضوع برای برخی دانشجویان انگیزه‌ای کافی باشد، اما برای اغلب دانشجویان وجود کاربردهای مهم در سایر رشته‌هاست که کسب این دانش را باارزش می‌کند. بسیاری از اصول و قوانین حاکم بر رفتار طبیعت، احکام و یا روابطی مربوط به نرخ رخ دادن اتفاقات هستند. به زبان ریاضیات، این روابط معادله‌ها هستند و نرخ‌ها مشتقات‌اند. معادله‌های شامل مشتقات، معادلات دیفرانسیل هستند. بنابراین برای درک و بررسی مسئله‌های مربوط به حرکت سیالات، جریان در مدارهای الکتریکی، اتلاف حرارت در اشیاء صلب، پراکنش و ردیابی امواج زلزله‌ای و یا افزایش و کاهش جمعیت‌ها و بسیاری دیگر از مسئله‌ها، آشنایی با معادلات دیفرانسیل ضروری است. " (ص. 5)

مؤلفان کتاب با در نظر گرفتن نیاز اساسی دانشجویان که به باور ایشان یادگیری حل معادلات دیفرانسیل است، صحبت از " منافع احتمالی کسب " دانش « کاربرد معادلات دیفرانسیل » می‌کنند تا به‌طور مستقیم نشان دهند که « علاقه‌مند کردن دانشجویان » برای یادگیری حل معادلات دیفرانسیل خیلی مهم است هر چند که علاقه دانشجویان متنوع است و " ممکن است صرف جذابیت موضوع برای برخی دانشجویان انگیزه‌ای کافی باشد، اما برای اغلب دانشجویان وجود کاربردهای مهم در سایر رشته‌هاست که کسب این دانش را باارزش می‌کند. " در ادامه دوباره بر این مطلب تأکید دارند که " آشنایی با معادلات دیفرانسیل ضروری است." بنابراین از دیدگاه مؤلفان این کتاب « کاربرد معادلات دیفرانسیل » به عنوان شرایط زمینه هم « علاقه‌مند کردن دانشجویان » و هم « توجه به نیازهای اساسی دانشجویان » را در بر دارد. در کنار شرایط زمینه، شرایط مداخله‌گر یعنی استفاده از « فنّاوری » نیز مدنظر مؤلفان این کتاب قرار دارد که در ادامه به آن پرداخته می‌شود.

به اعتقاد مؤلفان نوع، نحوه و میزان استفاده از « فنّاوری » به این بستگی دارد که دانشجویان چقدر با نرم‌افزارهایی از قبیل متلب، میپل و متمتیکا آشنا شده‌اند. به اعتقاد آن‌ها استفاده از فنّاوری می‌تواند در بررسی معادلات دیفرانسیل و جواب‌های آن‌ها مفید واقع شود. در این ارتباط مؤلفان توضیح می‌دهند که؛

" در ارتباط با فنّاوری، مکرراً در کتاب تذکر داده‌ایم که رایانه‌ها می‌توانند در بررسی معادلات دیفرانسیل و جواب‌های آن‌ها مفید باشند و بهترین نحوه نزدیک شدن به بسیاری از مسائل استفاده از کمک‌های محاسباتی است. در هر صورت کتاب برای دوره‌هایی با سطوح مختلف استفاده از رایانه ـ از بسیار کم و یا هیچ تا وسیع ـ قابل استفاده است. ... رایانه‌ها در درس معادلات دیفرانسیل دست کم سه کاربرد مهم دارند. اولین کاربرد، خردکردن اعداد و بنابراین تولید تقریب‌های دقیق عددی جواب‌های دقیق است. دومین کاربرد، انجام عملیات نمادین است که ممکن است کسل کننده باشند و انجام آن‌ها با دست وقت‌گیر باشد. در نهایت شاید مهم‌ترین کاربرد، ترجمه نتایج عددی یا محاسبات نمادین به شکل نموداری است که رفتار جواب‌ها را می‌توان به سادگی به کمک آن مجسم کرد." (ص. نه)

با اینکه مؤلفان کتاب بارها بر استفاده از « فنّاوری » تأکید داشته‌اند، در عین حال در فرایند برنامه‌ریزی و تدوین کتاب با در نظر گرفتن « روش‌های تدریس سنتی » که از « فنّاوری » " بسیار کم و یا هیچ " استفاده‌ای نمی‌کنند در یک‌سوی طیف تا سوی دیگرش که « روش‌های تدریس مدرن » با « نوآوری‌های آموزشی » از « فنّاوری » به‌طور " وسیع " بهره می‌گیرند پوشش می‌دهد. یعنی ویژگی استفاده از « فنّاوری » در آموزش معادلات دیفرانسیل ازنظر مؤلفان این کتاب از " بسیار کم، هیچ تا وسیع " است که در حقیقت پیوستاری برای بعدبندی زیر مقوله « فنّاوری » است. کرسول (2012) منظور از یک ویژگی بعدبندی شده را ویژگی می‌داند که بر روی یک پیوستار نشان داده شود. در اینجا ویژگی « فنّاوری » به عنوان شرایط مداخله‌گر بر روی پیوستار " بسیار کم، هیچ تا وسیع " قرار گرفته است. علاوه بر شرایط مداخله‌گر، شرایط زمینه نیز بر برنامه‌ریزی و تدوین این کتاب مؤثر بوده است.

به مقوله « کاربرد معادلات دیفرانسیل » به عنوان شرایط زمینه، می‌توان از دو جنبه اصلی؛ فضای حاکم بر نظام آموزشی و فضای حاکم بر شناخت و فراشناخت مؤلفان نگریست. درواقع مقوله « کاربرد معادلات دیفرانسیل » جنبه‌های مختلف پیشینه تجربی و آموزشی مؤلفان را پوشش می‌دهد. ازیک‌طرف فضای حاکم بر نظام آموزشی بر مقوله « کاربرد معادلات دیفرانسیل » تأثیرگذار است و از طرف دیگر گرایش و تجربیات شخصی نویسندگان زمینه تأثیرگذاری این مقوله را بیشتر می‌کند. مؤلفان با اینکه فارغ‌التحصیل رشته ریاضی هستند، اما از پیشینه تجربی و آموزشی قابل‌ملاحظه‌ای در کاربرد معادلات دیفرانسیل برخوردار می‌باشند. ویلیام ای. بویس ازیک‌طرف عضو انجمن ریاضیات صنعتی و کاربردی امریکا است و از طرف دیگر کسب کننده جایزه بهترین نوآری در منابع آموزش ریاضی در سال 1993 بوده است. ریچارد سی. دیپریما نیز ازیک‌طرف عضو انجمن‌های علمی-کاربردی مهمی همچون انجمن ریاضیات صنعتی و کاربردی، انجمن مهندسان مکانیک و انجمن فیزیک آمریکا بوده است و از طرف دیگر چندین مقاله در خصوص آموزش و کاربرد معادلات دیفرانسیل در صنعت تألیف کرده است. در کل می‌توان گفت که مفاهیم عمده‌ای که درون‌مایه « کاربرد معادلات دیفرانسیل » برای پوشش آن‌ها مورد استفاده قرارگرفته است عبارت‌اند از « علاقه‌مند کردن دانشجویان » و « توجه به نیازهای اساسی دانشجویان » که هر دو موارد فوق مؤید شرایط زمینه‌ای است که مؤلفان در حال برنامه‌ریزی و تدوین این کتاب در آن قرار داشته‌اند. وقتی مؤلفان اعلام می‌کنند که " بدون اطلاع از معادلات دیفرانسیل و روش‌های حل آن، مشکل بتوان قدردان این شاخه بسیار مهم ریاضیات بود "، " پیشرفت معادلات دیفرانسیل با پیشرفت علوم به‌طور عام درآمیخته است و نمی‌توان آن‌ها را از هم جدا کرد " و یا " معادلات دیفرانسیل توجه غیر ریاضیدان‌ها را جلب می‌کند چون می‌توان از آن برای بررسی مسئله‌های مختلفی در فیزیک، بیولوژی و علوم اجتماعی استفاده کرد " یعنی شرایط زمینه‌ای که مؤلفان این کتاب در آن قرار داشته‌اند و ابعاد خاص آن چارچوب ذهنی مؤلفان و به طبع آن پیچیدگی برنامه‌ریزی و تدوین کتاب را تحت تأثیر قرار داده است.

 پیچیدگی برنامه‌ریزی و تدوین کتاب برای مؤلفان دربرگیرنده چالشی دیگر در آموزش مفهومی معادلات دیفرانسیل است. در ارتباط با این موضوع مؤلفان در مقدار تمرکز بر معادلات دیفرانسیل بر اساس « ساختاری محض » از یک‌سوی طیف تا « ریاضی کاربردی تخصصی و صنعتی » در سوی دیگر طیف در نوسان بوده‌اند. یعنی آن‌ها در فرآیند « تلفیق ریاضی ورزی افقی و عمودی » با چالش روبرو بودند. عملکرد مؤلفان به هنگام برنامه‌ریزی و تدوین کتاب بر این مطلب اذعان دارد که آموزش مفهومی معادلات دیفرانسیل اتفاق نمی‌افتد اگر « کاربرد معادلات دیفرانسیل » فراموش می‌شود یا « استدلال‌های ریاضی » که برای درک درست بودن نتایج لازم است، کنار گذاشته شود. مؤلفان به وجود این چالش در اولین پاراگراف پیشگفتار اشاره داشته‌اند:

" این ویراست کتاب نیز، مانند ویراست‌های قبلی آن، از دیدگاه یک متخصص ریاضیات کاربردی نوشته شده است که علاقه‌اش به معادلات دیفرانسیل گاهی کاملاً نظری، گاهی بیش از حد کاربردی و اغلب جایی در میان این دو است. هدف ما ترکیب شرحی بی‌نقص و دقیق (اما نه مجرد) از نظریه مقدماتی معادلات دیفرانسیل به همراه مطالب قابل‌توجهی درباره روش‌های حل، تحلیل و تقریب ـ که سودمند بودنشان در دامنه وسیعی از کاربردها ثابت شده است ـ بوده است." (ص. نه)

ازیک‌طرف مؤلفان دوست دارند که خوانندگان کتاب بدانند که آن‌ها در شرایط زمینه‌ای که کاربرد معادلات دیفرانسیل از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است، قرار دارند چراکه در اولین جمله پیشگفتار اشاره کرده‌اند که این کتاب از دیدگاه متخصصان ریاضی کاربردی نوشته شده است. از طرف دیگر آن‌ها به چالش پیش روی برای « تلفیق ریاضی ورزی افقی و عمودی » اعتراف می‌کنند که می‌گویند " گاهی کاملاً نظری، گاهی بیش از حد کاربردی و اغلب جایی در میان این دو " قرار دارند. هدف آن‌ها تلفیق و " ترکیب شرحی بی‌نقص و دقیق " از برنامه درسی آموزش معادلات دیفرانسیل است که در عین دقیق و بی‌نقص بودن، فقط « ریاضی ورزی عمودی » یعنی ریاضی محض و مجرد نباشد که فقط از "  نظریه مقدماتی معادلات دیفرانسیل " سرچشمه گرفته باشد. بلکه تلاش کرده‌اند « ریاضی ورزی افقی » نیز در تلفیق و ترکیب بی‌نقص و دقیق آن‌ها از برنامه درسی آموزش معادلات دیفرانسیل نقش بازی کند. چراکه " مطالب قابل‌توجهی درباره روش‌های حل، تحلیل و تقریب که سودمند بودنشان در دامنه وسیعی از کاربردها ثابت شده است " در برنامه‌ریزی و تدوین کتاب لحاظ کرده‌اند. آن‌ها در انتهای پیشگفتار آورده‌اند:

" معتقدیم که مهم است که دانشجویان درک کنند که هدف از حل یک معادله دیفرانسیل، به‌جز احتمالاً در درس‌های معادلات دیفرانسیل، به‌ندرت صرف به دست آوردن جواب است. برعکس، علاقه به دست آوردن جواب برای کسب شهودی بهتر درباره فرایندی است که معادله آن را مدل می‌کند. به عبارت دیگر، جواب به خودی خود هدف نیست. به این دلیل، چندین مسئله و نیز مثال در کتاب قرار داده‌ایم که در آن‌ها خواسته‌ایم نتیجه‌ای درباره جواب به دست بیاید. گاهی این خواسته به شکل درخواست تعیین مقداری از متغیر مستقل که به ازای آن جواب خاصیتی معین دارد، با تعیین رفتار درازمدت جواب درمی‌آید. در مسئله‌های دیگر بررسی تأثیر تغییر یک پارامتر یا تعیین مقدار بحرانی یک پارامتر را خواسته‌ایم که به ازای آن جواب تغییری اساسی را تجربه می‌کند. این مسئله‌ها، نوعاً مسئله‌هایی هستند که در کاربردهای معادلات دیفرانسیل ظاهر می‌شوند" (ص. یازده)

چون مؤلفان کتاب « آموزش مفهومی معادلات دیفرانسیل » را دنبال می‌کنند، برای آن‌ها مهم است تا دانشجویان درک کنند که از یک‌سوی به عنوان « ریاضی ورزی عمودی » که " ممکن است هدف از حل یک معادله دیفرانسیل " را از بعد ریاضی محض و نظریه مقدماتی معادلات دیفرانسیل دنبال کند و هدف نهایی آن " صرف به دست آوردن جواب " باشد. درحالی‌که از سوی دیگر به عنوان « ریاضی ورزی افقی » ممکن است هدف از حل یک معادله دیفرانسیل "  کسب شهودی بهتر " درباره فرایندی باشد که معادله دیفرانسیل آن را مدل‌سازی می‌کند. مؤلفان به علت اینکه آموزش مفهومی معادلات دیفرانسیل را در برنامه‌ریزی و تدوین این کتاب هدف‌گذاری کرده‌اند با « تلفیق ریاضی ورزی افقی و عمودی » ازیک‌طرف و « تلفیق آموزش معادلات دیفرانسیل و مدل‌سازی » از طرف دیگر، تلاش دارند که دانشجویان به این درک برسند که " جواب به خودی خود هدف نیست " بلکه کسب شهودی بهتر درباره « مدل‌سازی » به اندازه جواب معادله دیفرانسیل و حتی بیشتر از آن دارای اهمیت است. بنابراین مقوله « آموزش مفهومی معادلات دیفرانسیل » به‌عنوان شرایط علّی برنامه‌ریزی و تدوین کتاب « معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی » تشخیص داده شده است. به‌طور خلاصه، تجزیه و تحلیل داده‌های پژوهش نشان می‌دهند شرایط علّی برای مؤلفان « آموزش مفهومی معادلات دیفرانسیل » است که در این میان « کاربرد معادلات دیفرانسیل » به‌عنوان شرایط زمینه‌ای و « فنّاوری » و « نوآوری آموزشی » به‌عنوان شرایط مداخله‌گر تأثیرگذار هستند. مؤلفان این کتاب با قرار گرفتن در این شرایط، راهبردهای « تلفیق رویکردهای جبری، عددی و هندسی »، « تلفیق ریاضی ورزی افقی و عمودی »، « تلفیق آموزش معادلات دیفرانسیل و مدل‌سازی » و « تلفیق روش‌های تدریس سنتی و مدرن » را اتخاذ می‌کنند. در الگوی کدگذاری بصری (شکل شماره 1) ارتباط بین مقوله‌ها، درونمایه‌ها و مقوله محوری نشان داده شده است.

سخن آخر

نوشتار حاضر با دو هدف انجـام شـده اسـت: نخـست، تبیین پیام پدیدآوران کتاب « معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی » که بیانگر مؤلفه‌های برنامه درسی، اهداف و گرایش مؤلفان است؛ و دوم، آشکار ساختن نیاز به پژوهش در زمینه تدوین و بازنگری برنامه درسی بایـسته و سـودبخش جدیدی بـرای « آموزش معادلات دیفرانسیل » که هماهنـگ با اهداف آموزش عالی باشد. آموزش عالی از مهم‌ترین مراحل آموزشی رسمی به شمار می‌آید که دارای وظایف و رسالت‌های متعددی در جهت رشد و پیشرفت نیروی انسانی جوامع است. تحقق این وظایف و رسالت‌ها نیازمند ابزارهایی همچون برنامه درسی متناسب است. یکی از موضوعات مهم در برنامه‌ریزی درسـی اهمیت دادن بـه نوسازی و هماهنگ ساختن محتوای کتاب‌های درسی بـا شرایط در حال تغییر است. بنا بر اهمیت چنین موضوعاتی، برنامه درسی معادلات دیفرانسیل نیز در این قاعده مستثنا نیست. همواره در آموزش مفهومی معادلات دیفرانسیل دو سـؤال اصلی مطرح است: دانشجویان چه چیزی را باید یـاد بگیرنـد؟ و اساتید چـه چیـزی را بایـد تدریس کنند؟ در حقیقت این دو سؤال بر محور محتوای برنامه درسی و چگـونگی تدوین کتاب درسی دور می‌زنند. بنابراین برنامه‌ریزی، تدوین، تغییر و روز آمد کردن کتب درسی معادلات دیفرانسیل یکی از الزامات نظام آموزش ریاضی دانشگاهی است. در حقیقـت، بررسی و تحلیل محتوای کتاب‌های (ترجمه‌ای و تألیفی) کمک می‌کند تا مفاهیم، اصـول، نگرش‌ها، باورهـا و مؤلفه‌های برنامه درسی مطرح شده در قالب این کتاب‌ها، بررسی علمی شوند.

از آنچه در بخش؛ بحث و نتیجه‌گیری  گذشت می‌توان نتیجه گرفت که ترجمه کتاب « معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسئله‌های مقدار مرزی » ابزاری باارزش در اختیار آموزش و دانش افزایی دانشجویان قرار می‌دهد چراکه بنیاد این کتاب در حد قابل‌توجهی بـر « برنامه درسی تلفیقی » اسـتوار اسـت. نویسندگان این کتاب علاوه بر آثار تحقیقی فراوان که در زمینه معادلات دیفرانسیل برجای گذاشته‌اند، در زمینه آموزش ریاضی هم از پیشگامان استفاده از روش‌ها و وسایل کمک آموزشی نوین به شمار می‌روند و توانسته‌اند تغییراتی را که در پنج دهه اخیر در محیط آموزشی رخ داده است به خوبی در ویراست‌های مختلف کتاب اعمال کنند. از ویژگی‌های مهم این کتاب، تأکید بر دیدگاه‌های هندسی و گرافیکی در بررسی رفتار جواب‌های معادلات و تعدد، تنوع و گستردگی مثال‌ها و مسئله‌های آن است (کریمی فردین‌پور، 1395). این گستردگی، در کنار استقلال حداکثری فصل‌ها از یکدیگر، باعث شده است که این کتاب علاوه بر ویژگی‌های منحصر به فرد فوق، انعطاف لازم را برای انتخاب راهبردهای آموزشی متفاوت داشته باشد.

در مقام مقایسه، محیط آموزشی که مدرسان ایرانی در آن به ارائه این درس می‌پردازند نیز در پنج دهه  اخیر دستخوش تغییرات وسیعی شده و همچنان به سرعت در حال تحول است. به‌طور مشخص، نرم‌افزارهای پیشرفته محاسبات نمادین و گرافیک کامپیوتری با قدرت تصویرگری عالی در دسترس اغلب دانشجویان قرار گرفته است. یعنی اکنون دانشجویان می‌توانند با استفاده از این نرم‌افزارها در چشم برهم زدنی، بسیاری از محاسبات عددی طولانی را انجام بدهند و جواب‌های صریح معادلات خاص را _ که در روش سنتی تدریس نحوه یافتن جواب آن‌ها بخش زیادی از وقت درس را به خود معطوف می‌کرد_  به دست بیاورند. 

آیا کتاب‌های آموزش معادلات دیفرانسیل موجود در ایران (و به‌ویژه کتاب‌های تألیفی فارسی) فقط بر ارائه مجموعه‌ای از روش‌ها و تکنیک‌های یافتن صورت صریح جواب‌های معادلات تأکید دارند؟ آیا کتاب‌های تألیفی فارسی در حوزه آموزش معادلات دیفرانسیل توانسته‌اند تغییراتی را که در دهه‌های اخیر در محیط آموزشی رخ داده است در ویراست‌های مختلف اعمال کنند و از انعطاف لازم را برای انتخاب راهبردهای آموزشی متفاوت برخوردار باشند؟ آیا کتاب‌های تألیفی فارسی در حوزه آموزش معادلات دیفرانسیل به تحولات وسیعی که در نحوه ارائه این درس در دانشگاه‌های پیشروی جهان صورت گرفته است و تفسیر نتایج حاصله از جواب و تفسیر کیفی آن را از یافتن صورت صریح جواب با  اهمیت‌تر کرده است، توجه کرده‌اند؟

بیگمان نوشتار حاضر ارزندگی آثار تألیفی در داخل کشور را انکـار نمی‌کند. اما اقرار می‌کند که در حال حاضر وجود آثار ترجمه‌ای به روز و معتبـر در زمینه آموزش معادلات دیفرانسیل ضروری است تا زدودن خلأ و شکاف آموزشی بین کتب تألیفی در داخل کشور و خارج کشور امکان پذیر شود. ذکر این نکته اهمیت دارد که شناخت تحولات آموزش معادلات دیفرانسیل در جهان و به تناسب آن خلأهای آموزشی آن در ایران مبنای مناسبی در بازنگری و تدوین کتب درسی است. از این رو پرسش‌های پژوهشی زیر برای تحقیقات بعدی مطرح می‌شود:

1-     در کتاب‌های معتبر فارسی و لاتین « آموزش معادلات دیفرانسیل » به چه موضوعاتی بیشتر و به چه موضوعاتی کمتر پرداخته‌شده است؟

2-     از حیث مقایسه، کتاب‌های معتبر فارسی و لاتین « آموزش معادلات دیفرانسیل » چه تفاوت‌های موضوعی با یکدیگر دارند؟



[1] . William E. Boyce

[2] . Richard C. Diprima

[3]. Isesco

[4] . Stacey

[5] . Horizontal Mathematization and Vertical Mathematization

[6]. Abbott

[7]. Akerson

[8]. Grounded Theory

[9]. Conceptions/Supposition

[10] . Habre

[11] . Karimi Fardinpour

[12] . Visual coding paradigm

[13]. Harrison

[14]. Owen

[15]. Dudley

[16]. Typical Sampling

[17]. Cresswell

[18]. Marton

[19]. Phenomenography

[20]. Strauss

[21]. Corbin

[22] . Deta Reduction

[23]. Categorising

[24] . open coding

[25] . conceptual labels

[26] . categories

[27]. Strauss and Corbin

[28] . Properties

[29] . Subcategories

[30] . Dimensionalized property

[31] . Axial coding

[32]. Charmaz

[33] . core category or phenomenon

[34] . causal conditions

[35] . context conditions

[36] . intervening conditions

[37] . strategies

[38] . consequences

[39] . selective Coding

[40]. Validation

[41] . External Audits

[42]. Credibility

[43]. Originality

[44]. Resonance

[45]. Usefulness

[46]. Fit

[47]. Sensitivity

[48]. Aplicability

[49]. Variation

[50]. Creativity

[51]. Innovative Manner

[52]. Systematic

[53]. Emerging

[54]. Constractivist